Epistemología

ACERCAMIEMTO AL TEOREMA DE INCOMPLETITUD DE KURT GÖDEL

Kurt Gödel nació en Brno (1906) y estudió matemáticas y física en la Universidad de Viena, donde se doctoró (1930) y fue Docente de matemáticas (1933 – 1938). Desde 1940, y tras haberlo visitado en algunas ocasiones, trabajó e investigó en el Instituto para Estudios Avanzados de Princeton. Fue miembro de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de Norteamérica y de la Sociedad Americana de Filosofía. En 1951 recibió el premio Einstein[1]

Su primer teorema de incompletitud[2] sostiene que toda teoría aritmética recursiva que sea consistente es incompleta; ó sea, en cualquier sistema formal que contenga la estructura básica de la aritmética (números naturales, suma y multiplicación) se pueden construir afirmaciones que son verdaderas pero indemostrables dentro del sistema. Así, cualquier teoría consistente[3] suficientemente amplia es incompleta[4]: “existen proposiciones aritméticas que son indecibles (esto es: ni demostrables ni refutables) dentro de su sistema aritmético”[5]

“(…) existe un número infinito de proposiciones aritméticas verdaderas que no pueden ser deducidas formalmente de ningún conjunto dado de axiomas mediante un conjunto cerrado de reglas de deducción. De donde resulta que un tratamiento axiomático de la teoría de los números, por ejemplo, no puede agotar el campo de la verdad aritmética”[6]

“Un procedimiento axiomático formalizado[7] se basa en un conjunto, inicialmente fijo y determinado, de axiomas y reglas de transformación. Como la propia argumentación de Gödel señala, no es posible trazar ningún límite previo a la inventiva de los matemáticos en la ideación de nuevas reglas de prueba. Por consiguiente, no puede darse ninguna descripción definitiva de la forma lógica precisa de las demostraciones matemáticas válidas”[8] [9]

“Las calculadoras actuales poseen en su interior un conjunto de directivas o instrucciones; estas instrucciones corresponden a las reglas fijas de deducción del procedimiento axiomático formalizado. Las máquinas contestan, pues, a los problemas operando por pasos medidos, cada uno de los cuales se halla controlado por las directivas introducidas en ellas. Pero, como demostró Gödel en su teorema de la ausencia de completitud, existen muchos problemas de la teoría elemental de los números que caen fuera del ámbito de un método axiomático fijo y que tales máquinas son incapaces de resolver por intricados y por rápidas que sean sus operaciones”[10]

“Hemos visto que las proposiciones matemáticas que no pueden ser demostradas por deducción formal a partir de un conjunto dado de axiomas pueden, sin embargo, ser demostradas mediante un razonamiento matemático ‘informal’”[11] O, en palabras del propio Gödel, “la demostración de consistencia para el sistema S sólo puede ser llevada a cabo mediante modos de inferencia que no están formalizados en el mismo sistema S (…)”[12]

Esa falta de informalidad es la que percibo a lo largo del entero de los discursos presentes en las fotocopias espitemológicas, y a la que hice referencia en el análisis crítico de la asignatura: la real innovación detesta al método.

Se non é vero, é ben trovato

Lucas Strumbo

UCM 2012

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[1] GÖDEL, 1980

[2] En su articulo publicado en 1931 “Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia matemática y sistemas afines”

[3] La consistencia puede ser definida tanto en términos semánticos como en términos sintácticos. En términos semánticos, un conjunto de fórmulas es consistente si y sólo si tiene un modelo. Es decir, si existe al menos una interpretación que haga verdaderas a todas las fórmulas del conjunto. En términos sintácticos, un conjunto de fórmulas es consistente si y sólo si para toda fórmula A, no es posible deducir tanto A como ￢A (la negación de A) a partir del conjunto de fórmulas [GEOFFREY, 1981]

[4] Se dice que un sistema lógico es semánticamente completo cuando todas las fórmulas lógicamente válidas (todas las verdades lógicas) del sistema son además teoremas del sistema.^[] Es decir, cuando el conjunto de las verdades lógicas del sistema es un subconjunto del conjunto de teoremas. [GEOFFREY, 1981]

[5] GÖDEL, 1980: Pág. I

[6] NAGEL & NEWMAN, 1979: Pág. 117

[7] “El método axiomático consiste en aceptar sin prueba ciertas proposiciones como axiomas o postulados (por ejemplo, el axioma de que entre dos puntos sólo puede trazarse una línea recta), y en derivar luego de esos axiomas todas las demás proposiciones del sistema, en calidad ya de teoremas” (NAGEL & NEWMAN, 1979: Pág. 18)

[8]  NAGEL & NEWMAN, 1979: Pág. 118

[9]  Véase la utilidad de esta perspectiva para el ámbito científico que nos trae de se sustituirse, tan sólo, “matemáticos” y “matemáticas” por politólogos y ciencias políticas. 

[10] NAGEL & NEWMAN, 1979: Pág. 119

[11] NAGEL & NEWMAN, 1979: Pág. 120

[12] GÖDEL, 1980: Pág. 7